Aufgabe 2 (WTR 1) - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2023

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $h_k$ mit $h_k(x) = (x-3)^k + 1$ und $k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}$.

Die Graphen von $h_k$ und $h'_k$ werden in der Abbildung 3 für $k = 4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k = 5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k$.

Für $k \ge 4$ werden die Punkte $P(4 \mid h_k(4))$, $Q(4 \mid h'_k(4))$, $R(2 \mid h_k(2))$ und $S(2 \mid h'_k(2))$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks.

c)

Die erste Ableitungsfunktion von $h_k$ wird mit $h'_k$ bezeichnet. Beurteilen Sie die folgende Aussage:

Es gibt genau einen Wert von $k$, für den der Graph von $h'_k$ Tangente an den Graphen von $h_k$ ist.

[6 Punkte]

d)

Die Graphen von $h_k$ und $h'_k$ werden in der Abbildung 3 für $k = 4$ beispielhaft für gerade Werte von $k$ gezeigt, in der Abbildung 4 für $k = 5$ beispielhaft für ungerade Werte von $k$.

Für $k \ge 4$ werden die Punkte $P(4 \mid h_k(4))$, $Q(4 \mid h'_k(4))$, $R(2 \mid h_k(2))$ und $S(2 \mid h'_k(2))$ betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründen Sie, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeigen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist:

Für jeden geraden Wert von $k$ mit $k \ge 4$ stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für $k$ und der Flächeninhalt des Trapezes für $k + 1$ überein.

[7 Punkte]