Aufgabe MMS 1 - Aufgabe 2 - Funktionen und ihre Eigenscha… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2023

Thema: Funktionen und ihre Eigenschaften · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (CAS) (2023)

Aufgabenstellung

Betrachtet wird die Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen hkh_k mit hk(x)=(x−3)k+1h_k(x) = (x - 3)^k + 1 und k∈N∖{0}k \in \mathbb{N} \setminus \{0\}.

a)

Das Verhalten von hkh_k für x→−∞x \to -\infty ist abhängig von kk. Geben Sie die dabei auftretenden Fälle des Verhaltens und für diese Fälle jeweils einen passenden Wert von kk an. Begründen Sie jeweils die Angabe des Werts von kk.

lim⁡x→−∞hk(x)=\lim_{x \to -\infty} h_k(x) =

lim⁡x→−∞hk(x)=\lim_{x \to -\infty} h_k(x) =

b)

Ermitteln Sie die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.

Erster Punkt: P1P_1 = (

|

)

Zweiter Punkt: P2P_2 = (

|

)

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Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a) Das Verhalten von h_k für x -> -oo bei ungeradem k (z. B. k = 1)

Lösung: −∞-\infty

a) Das Verhalten von h_k für x -> -oo bei geradem k (z. B. k = 2)

Lösung: +∞+\infty

a) Begründen Sie jeweils die Angabe des Werts von k.

Lösung: Für k=1k = 1 ist der Graph eine Gerade mit positiver Steigung, daher strebt h1(x)h_1(x) gegen −∞-\infty. Für k=2k = 2 ist der Graph eine nach oben geöffnete Parabel mit Tiefpunkt, daher strebt h2(x)h_2(x) gegen +∞+\infty.

b) x-Koordinate des ersten gemeinsamen Punkts

Lösung: 3

b) y-Koordinate des ersten gemeinsamen Punkts

Lösung: 1

b) x-Koordinate des zweiten gemeinsamen Punkts

Lösung: 4

b) y-Koordinate des zweiten gemeinsamen Punkts

Lösung: 2

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