Aufgabe a · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2023

(1) Weisen Sie nach, dass der Graph von $f$ an der Stelle $x = 0$ einen lokalen Hochpunkt aufweist.

Lösung: $f'(x) = \frac{1}{2}\cdot x^2 - 4\cdot x$, $f''(x) = x - 4$. Wegen $f'(0) = 0$ und $f''(0) = -4 < 0$ liegt an der Stelle $x = 0$ eine lokale Maximalstelle von $f$ vor.

(2) Begründen Sie, dass die Tangente an den Graphen von $f$ an der Stelle $x = 0$ den Punkt $P\left(\frac{4}{3}\Big|\frac{28}{3}\right)$ enthält.

Lösung: Da $H\left(0\Big|\frac{28}{3}\right)$ ein Hochpunkt des Graphen von $f$ ist, verläuft die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $H$ waagerecht und daher offensichtlich durch den Punkt $P$.

(3) Zeigen Sie: Die Gerade, die durch $P$ und $Q$ verläuft, berührt den Graphen von $f$ im Punkt $Q$ als Tangente.

Lösung: Die Gerade durch die Punkte $P$ und $Q$ hat die Steigung $\frac{\frac{28}{3} - (-12)}{\frac{4}{3} - 4} = \frac{\frac{64}{3}}{-\frac{8}{3}} = -8$. Da $f'(4) = \frac{1}{2}\cdot 4^2 - 4\cdot 4 = -8$ gilt, ist sie die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $Q$.