Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Teilaufgabe a

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto e^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, in dem sich die Graphen von $p$ und $q$ treffen; er liegt auf der $y$-Achse. Die erste Ableitungsfunktion von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Teilaufgabe b

Betrachtet wird die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x}$.

Die Extrempunkte $T$ und $H$ des Graphen von $h$ sowie die Punkte $P$ und $Q$ sind die Eckpunkte eines Rechtecks $TPHQ$, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen. Der Graph der Funktion $h$ teilt dieses Rechteck in zwei Teilstücke (siehe Abbildung 1).

Teilaufgabe c

Ein Bewässerungskanal wird in Betrieb genommen, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot e^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$ den zeitlichen Verlauf der momentanen Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beobachtungsbeginn und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

Der Graph von $w$ ist in Abbildung 2 dargestellt.

Teilaufgabe a (3)

Geben Sie an, welchen Wert das Integral $\int_0^2 (q(x) - p(x))\,\mathrm{d}x$ hat, und interpretieren Sie diesen Wert in geometrischer Hinsicht.

Wert des Integrals:

Teilaufgabe b (1)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Gebiets, das vom Graphen von $h$ und der $x$-Achse begrenzt wird.

Teilaufgabe c (4)

(i)

Bestimmen Sie, wie viel Wasser in den ersten zwei Sekunden nach Beobachtungsbeginn die Messstelle passiert.

(ii)

Innerhalb eines Zeitraums von drei Sekunden passieren dreizehn Kubikmeter Wasser die Messstelle.

Berechnen Sie, welche Zeiträume hierfür in Betracht kommen.