Aufgabe B3 - Längen, Winkel und Abstände · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2023

Abbildung 1 zeigt einen Pyramidenstumpf. Das Koordinatensystem ist so festgelegt, dass die quadratische Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ in der $x_1$-$x_2$-Ebene liegt, während sich die quadratische Deckfläche in einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene auf der Höhe $10$ befindet. Zudem geht die $x_3$-Achse durch die Diagonalenschnittpunkte dieser beiden Quadrate. Die Seitenlänge der quadratischen Deckfläche beträgt $4$.

Es gilt $A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$ und $D(2 \mid 2 \mid 10)$.

Abbildung 2 zeigt einen Körper, der entsteht, wenn die Deckfläche um $90^\circ$ um die $x_3$-Achse gedreht wird und die Grundfläche $A_1A_2A_3A_4$ dabei unverändert bleibt. In Abbildung 3 ist dieser Körper von oben zu sehen. Für den in den Abbildungen 2 und 3 abgebildeten Körper, auf den sich die folgenden Aufgaben beziehen, gilt:

$A_1(4 \mid 4 \mid 0)$, $A_2(-4 \mid 4 \mid 0)$, $A_4(4 \mid -4 \mid 0)$,

$B_1(-2 \mid 2 \mid 10)$, $B_2(-2 \mid -2 \mid 10)$, $B_3(2 \mid -2 \mid 10)$, $B_4(2 \mid 2 \mid 10)$.

Teilaufgabe a

a) (1)

Geben Sie an, welche Koordinaten der Punkt $A_3$ besitzt.

a) (2)

Berechnen Sie den Rauminhalt des Pyramidenstumpfes.

a) (3)

Der Pyramidenstumpf wird in der Höhe 5 von einer zur $x_1$-$x_2$-Ebene parallelen Ebene geschnitten, wobei die quadratische Schnittfläche $S$ entsteht. Berechnen Sie deren Flächeninhalt $F_S$.

[Zur Kontrolle: $F_S = 36\text{ FE}$]

Teilaufgabe b

b) (2)

Berechnen Sie die Größe des Winkels, den die Kanten $\overline{A_1B_1}$ und $\overline{A_1A_2}$ einschließen.

°

b) (3)

Der Punkt $H_1(1|3|5)$ liegt in der Höhe 5 auf der Kante $\overline{A_1B_1}$. Ebenso liegen $H_2(-3|1|5)$, $H_3$ und $H_4$ in der Höhe 5 auf den Kanten $\overline{A_2B_2}$, $\overline{A_3B_3}$ bzw. $\overline{A_4B_4}$. Sie bilden das Quadrat $H_1H_2H_3H_4$, dessen Flächeninhalt kleiner ist als $F_S$.

Bestimmen Sie rechnerisch, um wie viel Prozent der Flächeninhalt kleiner geworden ist.

%

Teilaufgabe c

Für die Geraden $A_3B_3$ und $A_4B_4$ liegt die folgende Berechnung vor, die nur unvollständig dokumentiert ist:

(I) $\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix},\quad \overrightarrow{OQ} = \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix}, \quad r,s \in \mathbb{R}$.

(II) $\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} 8 - 6r - 2s \\ -2r + 6s \\ -10r + 10s \end{pmatrix}$.

(III) $\begin{pmatrix} \overrightarrow{PQ} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \overrightarrow{PQ} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 8-6r-2s \\ -2r+6s \\ -10r+10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \\ \begin{pmatrix} 8-6r-2s \\ -2r+6s \\ -10r+10s \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \\ 10 \end{pmatrix} = 0 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} r = \dots \\ s = \dots \end{pmatrix}$.

(IV) Einsetzen von $r = \dots$ und $s = \dots$ in $\overrightarrow{PQ}$ liefert den Vektor $\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}$.

(V) $\left|\frac{1}{3}\begin{pmatrix} 4 \\ 8 \\ -4 \end{pmatrix}\right| = \frac{4\cdot\sqrt{6}}{3} \approx 3{,}27$.

c) (2) (i)

Bestimmen Sie mithilfe von (I), (II) und (III) die Werte von $r$ und $s$.

c) (2) (ii)

Interpretieren Sie, was der Wert $\frac{4\cdot\sqrt{6}}{3}$ geometrisch bedeutet.