Abitur NRW Mathematik 2023 · GK · Teil A · Stochastik

Bei einem Spiel werden ein Würfel und eine Münze jeweils einmal geworfen. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert, die Münze zeigt auf der einen Seite eine Zahl, auf der anderen ein Wappen. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

A: „Mit dem Würfel wird eine gerade Zahl erzielt, mit der Münze das Wappen.“

B: „Mit dem Würfel wird eine Zahl erzielt, die größer als 3 ist.“

a

Der Tabelle kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $X$ mit dem Erwartungswert $3$ entnommen werden.

$x_i$

$1$

$3$

$4$

$x_4$

$P(X = x_i)$

$\frac{1}{2}$

$\frac{5}{18}$

$\frac{1}{6}$

$\frac{1}{18}$

Berechnen Sie den Wert von $x_4$.

b

Die Tabelle zeigt einen Teil der Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße $Y$ mit dem Erwartungswert $5$.

$y_i$

$2$

...

$5$

...

$P(Y = y_i)$

$\frac{1}{4}$

...

$\frac{3}{8}$

...

Zeigen Sie, dass die Standardabweichung von $Y$ größer als $1$ ist.

Bei einem Spiel werden ein Würfel und eine Münze jeweils einmal geworfen. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert, die Münze zeigt auf der einen Seite eine Zahl, auf der anderen ein Wappen. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

A: „Mit dem Würfel wird eine gerade Zahl erzielt, mit der Münze das Wappen.“

B: „Mit dem Würfel wird eine Zahl erzielt, die größer als 3 ist.“

a

Geben Sie die Ergebnisse an, die zum Ereignis $A \cap B$ gehören.

Bei einem Spiel werden ein Würfel und eine Münze jeweils einmal geworfen. Die Seiten des Würfels sind mit den Zahlen von 1 bis 6 durchnummeriert, die Münze zeigt auf der einen Seite eine Zahl, auf der anderen ein Wappen. Betrachtet werden die folgenden Ereignisse:

A: „Mit dem Würfel wird eine gerade Zahl erzielt, mit der Münze das Wappen.“

B: „Mit dem Würfel wird eine Zahl erzielt, die größer als 3 ist.“

b

Jeder Spieler bezahlt zunächst einen festgelegten Einsatz und wirft anschließend Würfel und Münze jeweils einmal. Wenn das Ereignis A oder das Ereignis B eintritt, werden dem Spieler 6 Euro ausgezahlt. Bei wiederholter Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich auf lange Sicht die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen ausgleichen. Ermitteln Sie die Höhe des Einsatzes.

Aufgabengruppe 2

Bei einem Spiel werfen ein Spieler A und ein Spieler B jeweils einmal ein regelmäßiges Tetraeder, dessen Seiten mit den Zahlen von 1 bis 4 durchnummeriert sind. Ist die vom Spieler B erzielte Zahl um mindestens 2 größer als die vom Spieler A erzielte, so zahlt der Spieler A den Betrag $x$ an den Spieler B aus. Erzielen beide Spieler die gleiche Zahl, erfolgt keine Zahlung. In allen anderen Fällen zahlt der Spieler B den Betrag $y$ an den Spieler A aus. Bei sehr häufiger Durchführung des Spiels ist zu erwarten, dass sich die Auszahlungen zwischen den Spielern ausgleichen. Berechnen Sie das Verhältnis von $x$ und $y$.

[5 BE]

$\frac{x}{y} =$