Aufgabe B1 - Differentialrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ sei durch die folgende Gleichung festgelegt:

$$f(x)=(x+0,5)\cdot (x-0,5)\cdot\mathrm{e}^x = (x^2 - 0,25)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Die Funktion $g$ ist durch folgende Gleichung festgelegt:

$$g(x)=(x+1)\cdot (x-1)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}$$

Abbildung 1 zeigt den Graphen der Funktion $g$.

Aufgabenstellung:

Die Funktion $f$ ist durch folgende Gleichung definiert:

$$f(x) = (x+0{,}5)\cdot(x-0{,}5)\cdot\mathrm{e}^x = (x^2 - 0{,}25)\cdot\mathrm{e}^x,\quad x\in\mathbb{R}.$$

a)

(1)

Der Graph von $f$ besitzt zwei lokale Extrempunkte. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

$($ $\mid$

$)$

$($ $\mid$

$)$

(2)

Gegeben ist $f''(x) = (x^2 + 4\cdot x + 1{,}75)\cdot\mathrm{e}^x$. Untersuchen Sie die Funktion $f$ rechnerisch auf Wendestellen; Werte oder Zusammenhänge, die an Funktionsgraphen abgelesen wurden, dürfen dabei nicht verwendet werden.

$x_{w1} =$

$x_{w2} =$

(3)

(i) Weisen Sie nach, dass gilt: $f'(x) = (x^2 + 2\cdot x - 0{,}25)\cdot\mathrm{e}^x$.

(ii) Zeigen Sie rechnerisch, dass $t: y = -\mathrm{e}^{-1{,}5}\cdot x + 0{,}5\cdot\mathrm{e}^{-1{,}5}$ die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt $(-1{,}5\mid f(-1{,}5))$ ist.

b)

Für $-1 < z < 1$ bilden die Punkte $P(-1\mid 0)$, $Q_z(z\mid g(z))$ und $R_z(z\mid 0)$ das Dreieck $PQ_zR_z$.

(1)

Zeichnen Sie in Abbildung 1 das Dreieck $PQ_zR_z$ für $z = 0{,}75$ ein.

(2)

Begründen Sie, dass der Flächeninhalt $B$ des Dreiecks $PQ_zR_z$ abhängig von $z$ durch die Gleichung

$$B(z) = -0{,}5\cdot(z+1)^2\cdot(z-1)\cdot\mathrm{e}^z$$

berechnen lässt.

(3)

Bestimmen Sie den größtmöglichen Flächeninhalt des Dreiecks $PQ_zR_z$.

[FE]