Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Lineare Algebra (CAS) 2023

Für $k \in [0; 7[$ werden die Pyramiden $A_k B_k C D S$ mit $A_k(0 \mid k - 1 \mid 0)$, $B_k(2k + 2 \mid k - 1 \mid 0)$, $C(5 \mid 6 \mid 0)$, $D(0 \mid 6 \mid 0)$ und $S(0 \mid 0 \mid 6)$ betrachtet (vgl. Abbildung 1).

a)

Begründen Sie, dass die Grundfläche der Pyramide für jeden Wert von $k$ ein Trapez ist. Bestimmen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Grundfläche rechteckig ist.

b)

Berechnen Sie denjenigen Wert von $k$, für den die Größe des Winkels, den die Kante $\overline{A_k S}$ mit der Grundfläche der Pyramide einschließt, $60^\circ$ beträgt.

c)

Der in der Abbildung 2 gezeigte Graph stellt das Volumen der Pyramide in Abhängigkeit von $k$ dar. Das Volumen der Pyramide für $k = k_2$ ist halb so groß wie das Volumen der Pyramide für $k = k_1$. Ermitteln Sie alle möglichen Werte von $k_2$.