Aufgabe B1 - Funktionen und ihre Eigenschaften · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR 2023

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Funktionen $p$, $q$ und $h$

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p: x \mapsto -x^2 - x + 1$ und $q: x \mapsto \mathrm{e}^{-x}$.

Es gibt genau einen Punkt, den die Graphen von $p$ und $q$ gemeinsam haben, und er befindet sich auf der $y$-Achse. Die erste Ableitung von $q$ erfüllt $q'(x) = -q(x)$.

Außerdem sei die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h: x \mapsto (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ gegeben.

Modellierung des Bewässerungskanals (Funktion $w$)

Ein Bewässerungskanal nimmt seinen Betrieb auf, indem eine Schleuse geöffnet wird.

Die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w: x \mapsto 4 \cdot (x^2 - x - 1) \cdot \mathrm{e}^{-x} + 4$ modelliert für $x \ge 0$, wie sich die momentane Durchflussrate des Wassers an einer Messstelle im Lauf der Zeit verändert. Dabei steht $x$ für die Zeit in Sekunden seit Beginn der Beobachtung und $w(x)$ für die momentane Durchflussrate in Kubikmetern pro Sekunde.

a) (1)

Beschreiben Sie, auf welche Weise sich aus dem Graphen von $q$ der Graph von $q'$ gewinnen lässt.

c) (1)

Es gilt $w(x) \to c$ für $x \to \infty$. Geben Sie den Wert von $c$ an und deuten Sie diesen Wert im Sachzusammenhang.