Aufgabe 2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2026

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ mit $$f_a(x) = \frac{3}{4} \cdot (x^2 - a^2) \cdot e^{1 - \frac{x}{a}}$$ und $a \in \mathbb{R}^+$. Der Graph von $f_a$ wird mit $G_a$ bezeichnet.

Gegeben ist außerdem die in $\mathbb{R}^+$ definierte Funktion $h$ mit $h(x) = k \cdot \ln x$ mit einer positiven reellen Zahl $k$. Die Graphen von $f_1$ und $h$ haben im Punkt $(1|0)$ eine gemeinsame Tangente.

e)

Im vierten Quadranten schließt $G_a$ mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Der Inhalt dieser Fläche stimmt näherungsweise mit dem Inhalt des Dreiecks überein, dessen Eckpunkte der Koordinatenursprung, der Schnittpunkt von $G_a$ mit der y-Achse und der Schnittpunkt von $G_a$ mit der positiven x-Achse sind.

Zeigen Sie, dass die prozentuale Abweichung des Inhalts der Dreiecksfläche vom Inhalt der eingeschlossenen Fläche unabhängig von $a$ ist, und geben Sie diese prozentuale Abweichung an.

%