Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · GTR 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, mehreren hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier legt allein die Königin; aus ihnen schlüpfen neue Bienen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde der Verlauf des Jahres 2019 genau beobachtet und anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend werden die Arbeiterinnen „Bienen" genannt.

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a)(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Eine Begründung ist nicht nötig.]

Ermitteln Sie diese Zahl rechnerisch.

a)(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Zeitraum vom Beginn des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$) im Mittel pro Tag schlüpfen.

b)(2)

Ermitteln Sie eine Gleichung, mit der sich Anfang und Ende der Schwarmzeit nach Ansatz B berechnen lassen.

Zeigen Sie, dass die Schwarmzeit nach Ansatz B von $t_1 \approx 47$ bis $t_2 \approx 104$ reicht.

c)(3)

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind.