Aufgabe MMS 2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

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Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{100}\cdot(x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$.

Ein Mobilfunkanbieter betreibt eine Hotline, die an jedem Tag 24 Stunden erreichbar ist. Die Wartezeit eines Anrufers dieser Hotline ist abhängig vom Zeitpunkt des Anrufs. Durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $w$ mit $w(x) = 100 \cdot f(x) = (x-6)\cdot \mathrm{e}^{-0{,}17x+6}$ kann die Wartezeit an einem bestimmten Tag für die Zeitpunkte von 8:00 Uhr bis einschließlich 22:00 Uhr beschrieben werden. Dabei bezeichnet $x$ den Zeitpunkt des Anrufs in Stunden nach 0:00 Uhr und $w(x)$ die Wartezeit in Sekunden. Nimmt $w$ beispielsweise an der Stelle $10{,}25$ den Wert von etwa $300$ an, so beträgt die Wartezeit für einen Anruf um 10:15 Uhr etwa 300 Sekunden.

c)

Der Graph von $f$ schließt mit den beiden Koordinatenachsen eine Fläche ein. Die Fläche soll durch eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, in zwei gleich große Teilflächen zerlegt werden. Bestimmen Sie eine Gleichung dieser Gerade.

f)

Die Abbildung zeigt den Graphen von $w$ für $8 \le x \le 22$.

Für reelle Zahlen $a$ und $b$ mit $8 \le a < b \le 22$ gilt:

Wenn $\int_a^b (250 - w(x))\,dx = 0$ ist, so beträgt die durchschnittliche Wartezeit für Anrufe zwischen den durch $a$ und $b$ gegebenen Zeitpunkten 250 Sekunden.

Bestimmen Sie durch geeignete Eintragungen in der Abbildung jeweils einen möglichen Wert für $a$ und $b$, sodass zwischen den zugehörigen Zeitpunkten die durchschnittliche Wartezeit 250 Sekunden beträgt. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.