Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Abbildung 1 zeigt schematisch drei Bahnen, auf denen sich eine Kugel beim Kugelstoßen bewegen kann. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ m}$ in der Realität; die $x$-Achse beschreibt den horizontal verlaufenden Boden. Die Kugel soll als punktförmig angenommen werden.

Die Kugel wird aus der Ruhelage (R) beschleunigt, bis sie im Abstoßpunkt (A) die Hand der Athletin verlässt. Die anschließende Flugkurve der Kugel ist abhängig von ihrer Geschwindigkeit beim Abstoßen. Damit verändert sich insbesondere die Stoßweite, d. h. der horizontale Abstand zwischen Abstoßpunkt und Auftreffpunkt auf dem Boden.

Die Bahn der Kugel von der Ruhelage bis zum Abstoßpunkt kann modellhaft durch die Funktion $f$ mit $f(x) = 0{,}4 + 1{,}6 \cdot \mathrm{e}^{0{,}5x}$ und $x \in [-2; 0]$ beschrieben werden.

Nach dem Abstoßen der Kugel lässt sich jede mögliche Flugkurve mithilfe einer der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $p_a$ mit $p_a(x) = -ax^2 + bx + 2$ und $a \in \mathbb{R}^+$ beschreiben. Alle möglichen Bahnen der Kugel weisen im Abstoßpunkt keinen Knick auf.

Der Zusammenhang zwischen den Werten von $a$ und den Stoßweiten $s$ mit $s > 0$ lässt sich durch die Gleichung $a = \frac{0{,}8}{s} + \frac{2}{s^2}$ darstellen. Abbildung 2 stellt diesen Zusammenhang graphisch dar:

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Zeichnen Sie in Abbildung 2 die beiden Parallelen zur $s$-Achse ein, die durch die Punkte des Graphen mit den $s$-Koordinaten 2 bzw. 10 verlaufen. Berechnen Sie den Inhalt des Flächenstücks, das der Graph mit der $a$-Achse und den beiden eingezeichneten Parallelen einschließt.