Aufgabe WTR 2 · Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und… · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

e) Zeigen Sie, dass die in IR definierte Funktion F mit F(x) = -1/10*(x^2 - 5x + 5)*e^x eine Stammfunktion von f ist.

Lösung: $F'(x) = -\frac{1}{10} \cdot (2x - 5) \cdot e^x - \frac{1}{10} \cdot (x^2 - 5x + 5) \cdot e^x = \frac{1}{10}x \cdot (3 - x) \cdot e^x = f(x)$

f) Deuten Sie das Integral geometrisch

Lösung: Der Wert des Integrals ist der Inhalt des Flächenstücks, das der Graph von $f$ für $0 \leq x \leq 3$ mit der x-Achse einschließt.

f) berechnen Sie seinen Wert.

Lösung: $\frac{1}{10} \cdot (e^3 + 5) \approx 2{,}5$

g) Begründen Sie ohne zu rechnen, dass es eine positive Zahl a gibt, für die das Integral von 0 bis a gleich 0 ist.

Lösung: Für $x > 3$ sind die Funktionswerte von $f$ negativ und es gilt $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$. Betrachtet man die Flächenstücke, die der Graph von $f$ im Integrationsbereich mit der x-Achse und der Gerade $x = a$ einschließt, so gibt es einen Wert von $a$, für den der Inhalt des oberhalb der x-Achse liegenden Flächenstücks ebenso groß ist wie der Inhalt des unterhalb liegenden Flächenstücks.

h) Begründen Sie ohne Verwendung des Funktionsterms von F, dass der Graph jeder Stammfunktion von f einen Tiefpunkt hat, der auf der y-Achse liegt.

Lösung: Es gilt $H'(x) = f(x)$ und damit in einer Umgebung von $x = 0$: $H'(0) = f(0) = 0$, $H'(x) < 0$ für $x < 0$ und $H'(x) > 0$ für $x > 0$. Daher liegt bei $x = 0$ ein Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus vor, also ein Tiefpunkt auf der y-Achse.

h) Bestimmen Sie diejenige Stammfunktion, für die sich dieser Tiefpunkt im Koordinatenursprung befindet.

Lösung: $H(x) = -\frac{1}{10} \cdot (x^2 - 5x + 5) \cdot e^x + \frac{1}{2}$ / $H(x) = F(x) + \frac{1}{2}$