Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (CAS) (2021)

Aufgabenstellung

Gegeben ist die in R\mathbb{R} definierte Funktion ff mit f(x)=(2+x2)⋅(1−x2)3f(x) = \left(2 + \frac{x}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{x}{2}\right)^3. Der Graph von ff wird mit GfG_f bezeichnet.

Die Gerade gg verläuft durch die Wendepunkte W1(2∣0)W_1(2|0) und W2(−1|8116)W_2\left(-1\middle|\frac{81}{16}\right) und besitzt die Gleichung y=−2716x+278y = -\frac{27}{16}x + \frac{27}{8}.

GfG_f und gg schließen drei Flächenstücke ein. Zeigen Sie, dass die Summe der Inhalte zweier dieser Flächenstücke ebenso groß ist wie der Inhalt des dritten.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2021

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

1 e) Zeigen Sie, dass die Summe der Inhalte zweier dieser Flächenstücke ebenso groß ist wie der Inhalt des dritten.

Lösung: Für x≠−1x \ne -1 und x≠2x \ne 2 gilt f(x)=−2716x+278  ⟺  x=12−325∨x=12+325f(x) = -\frac{27}{16}x + \frac{27}{8} \iff x = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\sqrt{5} \lor x = \frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{5} mit 12−325<−1\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\sqrt{5} < -1 und 12+325>2\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{5} > 2. ∫12−32512+325(f(x)−(−2716x+278))dx=0\int_{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}\sqrt{5}}^{\frac{1}{2} + \frac{3}{2}\sqrt{5}} \left(f(x) - \left(-\frac{27}{16}x + \frac{27}{8}\right)\right)\mathrm{d}x = 0

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