Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Nachtermin · CAS 2021

Für die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ einer Funktionenschar gilt die Gleichung

$$f_a(x) = 2ax \cdot e^{a-x} + 1 \quad \text{mit } a \in \mathbb{R},\ a \neq 0.$$ Abbildung 1 zeigt die Graphen von $f_a$ für $a = 0{,}5$ und $a = -1$.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $$h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2} \quad \text{und} \quad g_{-2}(x) = -4x + 1.$$

Der Graph von $f_{-2}$ und die beiden Tangenten begrenzen gemeinsam eine Fläche.

Zwei Funktionsgraphen berühren sich in einem gemeinsamen Punkt $P$, falls ihre Steigungen in $P$ übereinstimmen.

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$, $f_{-2}$ sowie einer weiteren Funktion $k$.

Der Graph der Funktion $k$ berührt den Graphen der Funktion $f_{-2}$ im Wendepunkt $W_{-2}\left(1 \mid 1 - \frac{4}{e^2}\right)$. Man erhält ihn, indem man den Graphen von $f_1$ nacheinander in $x$-Richtung und in $y$-Richtung verschiebt.

Nachfolgend sei $a = -2$.

Abbildung 2 zeigt den Graphen von $f_{-2}$, die Wendetangente an den Graphen von $f_{-2}$ und den Graphen der Funktion $g_{-2}$, bei dem es sich um die Tangente an den Graphen von $f_{-2}$ im Punkt $(0 \mid 1)$ handelt.

Es gilt $h_{-2}(x) = \frac{4}{e^2}x + \frac{e^2 - 8}{e^2}$ und $g_{-2}(x) = -4x + 1$.

Die beiden Tangenten und der Graph von $f_{-2}$ begrenzen gemeinsam eine Fläche.

(4)

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser eingeschlossenen Fläche.

(5)

Betrachtet wird die Gleichung

$$\int_{z}^{z+3{,}5} \left(h_{-2}(x) - f_{-2}(x)\right) \mathrm{d}x = 0.$$

Bestimmen Sie die Lösung dieser Gleichung und erläutern Sie anhand von Abbildung 2, was diese Lösung geometrisch bedeutet.