Aufgabe WTR 2 - 1d, 1e - Integralrechnung: Flächen und Be… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto 5x \cdot \mathrm{e}^{-x}$.

Abbildung 1 zeigt den Graphen $G$ von $f$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

Abbildung 2 zeigt eine Figur, die modellhaft das Wappen eines Sportvereins beschreibt.

Die Begrenzungslinien der Figur werden durch einen Teil der Gerade mit der Gleichung $y = 5$ sowie durch die Kurvenstücke $H_1$ und $H_2$ beschrieben:

$H_1$ entsteht, indem $G$ für $x \in [\ln 5; 5]$ an der Gerade mit der Gleichung $y = x$ gespiegelt wird.

$H_2$ entsteht durch Spiegeln von $H_1$ an der Gerade mit der Gleichung $x = \ln 5$.

Der Punkt $S(\ln 5 \mid \ln 5)$ ist gemeinsamer Punkt von $H_1$ und $H_2$.

d

Begründen Sie, dass mit dem Term

$$2 \cdot \left( (5 - \ln 5) \cdot \ln 5 - \int_{\ln 5}^5 f(x)\,\mathrm{d}x \right)$$

der Flächeninhalt der Figur berechnet werden kann. [5 BE]

e

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $F \colon x \mapsto -5(x+1) \cdot \mathrm{e}^{-x}$ ist eine Stammfunktion von $f$.

Bestimmen Sie mit dem Term aus Aufgabe 1d den Flächeninhalt der Figur auf Zehntel gerundet. [3 BE]