Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist durch die Gleichung

$$f_k(x) = \frac{1}{k}\cdot x^3 - 6\cdot x^2 + 9\cdot k\cdot x, \quad x \in \mathbb{R},$$ eine Funktion $f_k$ festgelegt.

Teilaufgabe b

Abbildung 2 zeigt ein numerisches Verfahren, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_{0}^{3} f_1(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 0{,}781\,\text{FE}$, $A_2 \approx 1{,}781\,\text{FE}$, $A_4 \approx 1{,}344\,\text{FE}$, $A_5 \approx 0{,}656\,\text{FE}$, $A_6 \approx 0{,}156\,\text{FE}$.

b) (1)

Zeigen Sie: $A_3 \approx 1{,}844\,\text{FE}$.

b) (2)

Ermitteln Sie, wie viel Prozent der Näherungswert, den das dargestellte Verfahren für das Integral $\int_{0}^{3} f_1(x)\,\mathrm{d}x$ liefert, vom exakten Wert abweicht.

%

Teilaufgabe c

Für jede reelle Zahl $k > 0$ ist $p_k$ eine quadratische Funktion mit folgenden Eigenschaften:

Die Nullstellen von $p_k$ stimmen mit den Nullstellen von $f_k$ überein.

Der Scheitelpunkt des Graphen von $p_k$ liegt auf dem Graphen von $f_k$.

[Zur Kontrolle: $p_k(x) = -\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}k\cdot x$]

c) (2)(i)

Ermitteln Sie $\int_{0}^{3k} (f_k(x) - p_k(x))\,\mathrm{d}x$.

c) (2)(ii)

Über dem Intervall $[0; 3k]$ schließt jeder der Graphen von $f_k$ und $p_k$ mit der $x$-Achse eine Fläche ein.

Interpretieren Sie das Ergebnis aus (i) bezüglich der Größe dieser beiden Flächen.

c) (3)

Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f_1$ und $p_1$.

(i) Bestimmen Sie die Größe des Flächeninhalts $A_{\text{links}}$ für die links liegende schraffierte Fläche.

FE

(ii) Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt die rechte schraffierte Fläche $A_{\text{rechts}}$ hat.