Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ mit folgender Funktionsgleichung dargestellt:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4 + 5x^3.$$

b)

Zu jeder reellen Zahl $a$ gehört die auf $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h_a$ mit $h_a(x) = 5ax^2$.

(3)

Die Gleichung $f(x) = h_{3{,}75}(x)$ besitzt genau die drei Lösungen $x_1 = 0$, $x_2 = 6$ und $x_3 = 10$; außerdem gilt $\int_0^{10} (f(x) - h_{3{,}75}(x))\,\mathrm{d}x = 0$.

Erläutern Sie, was diese Aussage geometrisch für die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ bedeutet.

c)

Ein Unternehmen bewahrt Glyzerin in einem Tank auf. Für $0 \leq x \leq 20$ wird die momentane Änderungsrate des Tankinhalts durch die Funktion $f$ (aus a)) modelliert. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Anfangs enthält der Tank $1200\text{ kg}$ Glyzerin.

(1)

Der Graph von $f$ enthält den Punkt $(4 \mid 240)$.

Interpretieren Sie die beiden Koordinaten dieses Punktes im Kontext der Aufgabe.

(2)

Beurteilen Sie diese Aussage: „Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn befindet sich die maximale Menge Glyzerin im Tank.“

(3)

Bestimmen Sie, um wie viel der Tankinhalt zwischen acht und zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn zunimmt.

(4)

Berechnen Sie die Glyzerinmenge, die sich 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet.