Aufgabe MMS 1: Aufgabe 1 c, d - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Gegeben ist die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_k$ mit

$$f_k(x) = \frac{1}{2k} \cdot x^2 \cdot (x - 2k)^2 \quad \text{und} \quad k \in \mathbb{R}^+.$$

Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

c

Betrachtet wird die Fläche, die $G_k$, die x-Achse und die beiden Geraden mit den Gleichungen $x = -1$ und $x = 1$ einschließen. Sie setzt sich aus mehreren Flächenstücken zusammen. Beurteilen Sie die folgende Aussage, ohne den Wert eines Integrals zu berechnen:

Für jeden Wert von $k$ gibt der Term $\int_{-1}^1 f_k(x)\,\mathrm{d}x$ den Inhalt der betrachteten Fläche an.

d

Für jeden Wert von $k$ schließen $G_k$ und der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h_k$ mit $h_k(x) = \frac{k}{2} \cdot (x - 2k)^2$ eine Fläche ein, die sich aus zwei Flächenstücken zusammensetzt. Untersuchen Sie, ob die folgende Aussage richtig ist:

Für $k > 3$ ist der Inhalt der Fläche kleiner als $k^5$.