Aufgabe WTR 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2020

Die Abbildung zeigt das Logo eines Geschäfts für Anglerbedarf. Die obere Spitze der Schwanzflosse des Fischs liegt auf der Wasseroberfläche; die Strecke zwischen oberer und unterer Spitze der Schwanzflosse steht senkrecht zur Wasseroberfläche.

Bei Verwendung eines geeigneten Koordinatensystems kann die untere Begrenzungslinie des Fischs mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $u: x \mapsto \frac{1}{8}x^3$, die obere Begrenzungslinie mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $v: x \mapsto \frac{1}{4}x^2 \cdot (4-x)$ beschrieben und die Wasseroberfläche durch die Gerade mit der Gleichung $y = \frac{5}{4}$ dargestellt werden.

e)

Berechnen Sie den Flächeninhalt der Schwanzflosse des Fischs.

f)

Bezeichnet man die Lösung der Gleichung $v(x) = \frac{5}{4}$ für $0 < x \le \frac{8}{3}$ mit $x_1$ und die Lösung der Gleichung $u(x) = \frac{5}{4}$ mit $x_2$, so ist der Wert des Terms

$$\int_{-1}^{x_1} (v(x) - u(x)) \, \mathrm{d}x + \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{5}{4} - u(x)\right) \mathrm{d}x$$

die Lösung einer Aufgabe im vorliegenden Sachzusammenhang. Formulieren Sie eine passende Aufgabenstellung und beschreiben Sie die Bedeutung der beiden Integrale im Zusammenhang mit der Aufgabe.