Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

In Abbildung 1 ist ein Modell einer Schwenkbrücke zu sehen, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die in Abbildung 2 gezeigte Seitenansicht der Brücke wird als Trägerkonstruktion bezeichnet. In Abbildung 2 ist deren obere Randlinie schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Brückenmodell steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Ein weiterer Bogen liegt zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens.

f) Die in Abbildung 4 schraffiert abgebildete Fläche, die von der oberen Randlinie, der unteren Horizontalen und dem durch $g$ beschriebenen Bogen begrenzt wird, soll mit Stoff bespannt werden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.