Aufgabe 2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2017

Aufgabe 2

Die Abbildung zeigt schematisch einen Längsschnitt eines Schiffs, dessen Deck horizontal liegt.

Bei Verwendung eines Koordinatensystems, dessen Ursprung an der Bugspitze liegt und dessen x-Achse entlang der Decklinie verläuft, beschreibt die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k: x \mapsto -0{,}3x^2 \cdot e^{-0{,}2x}$ für $0 \le x \le 20$ modellhaft die abgebildete Kiellinie. Dabei entspricht eine Längeneinheit einem Meter in der Wirklichkeit.

Der Endpunkt des Kiels am Heck wird im Modell durch den Punkt $E$ dargestellt, die Bugspitze durch den Punkt $B$. Der Punkt $T(10 \mid k(10))$ ist der Tiefpunkt, der Punkt $P(10 - 5\sqrt{2} \mid k(10 - 5\sqrt{2}))$ ein Wendepunkt des Graphen von $k$.

f)

Verbindet man die Punkte $B$, $P$, $T$ und $E$ in dieser Reihenfolge durch Strecken, so liefert die Summe der Längen dieser Strecken einen Näherungswert für die Länge der Kiellinie. Ermitteln Sie diesen Näherungswert.

(zur Kontrolle: Näherungswert: 21,0)

g)

Beschreiben Sie, wie man unter Verwendung von Streckenzügen zwischen Punkten auf dem Graphen von $k$ einen beliebig genauen Wert für die Länge der Kiellinie erhalten kann.

h)

Ist ein Kurvenstück Graph einer in $[a;b]$ mit $a, b \in \mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit erster Ableitungsfunktion $h'$, so gilt für die Länge $s$ dieses Kurvenstücks:$$s = \int_a^b \sqrt{1 + (h'(x))^2}\,\mathrm{d}x$$Berechnen Sie damit die Länge der Kiellinie im Modell.

Formulieren Sie eine allgemeine Aussage zur Länge der Kiellinie im Vergleich zur Länge der in Teilaufgabe g verwendeten Streckenzüge. Begründen Sie diese Aussage.