Aufgabe B1 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration über die Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Den höchsten Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages nennt man im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür dient im Bereich $0 \leq x \leq 70$ als Modell die Funktion $f$ mit

$$f(x) = \left(58x^2 + 10\,000x + 208\right) \cdot e^{-0{,}1x-5{,}7} + 7 \;,\; x \in \mathbb{R},$$

Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird für $0 \leq t \leq 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \;,\; t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei bezeichnet $t$ die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. In Abbildung 2 ist der Graph von $h$ zu sehen.

Teilaufgabe a) (5)

a) (5)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a;b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Tageshöchstkonzentration für das Altersintervall von 5 bis 15 Jahren.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent dieser Mittelwert vom maximalen Wert der Tageshöchstkonzentration (ca. $137{,}675\text{ pg/ml}$) abweicht. Geben Sie das Ergebnis in Prozent an:

Teilaufgabe b) (2) bis (5)

Am Anfang ($t = 0$) liegt die Hormonkonzentration bei $20\text{ pg/ml}$.

b) (2)

Begründen Sie, dass die Hormonkonzentration im Intervall $[0;8]$ für $t = 4$ ihr Maximum annimmt.

b) (3)

Ermitteln Sie die Zeitpunkte $a_1$ und $a_2$ im Beobachtungszeitraum ($0 \le a_1 < a_2 \le 8$), zu denen die Hormonkonzentration $40\text{ pg/ml}$ beträgt:

b) (4)

Zeigen Sie, dass die Hormonkonzentration am Anfang ($t = 0$) des Beobachtungszeitraums mit der am Ende ($t = 8$) übereinstimmt.

b) (5)

Die Tageshöchstkonzentration wird im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens ($0 \le t \le 8$) erreicht.

Ermitteln Sie mithilfe von $h$ die maximale Hormonkonzentration (Tageshöchstkonzentration) in pg/ml:

Bestimmen Sie mit der Funktion $f$ ein mögliches Alter (in Jahren) einer Person, die diese Tageshöchstkonzentration aufweist: