Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus zehntausenden Arbeiterinnen, einigen hundert Drohnen sowie einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt die Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über den Jahresverlauf genau beobachtet, und seine Entwicklung wurde anschließend modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend nennt man die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$. Abbildung 1

In der gesamten Aufgabe müssen Zeitangaben nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Teilaufgabe a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen.

[Eine Begründung ist nicht notwendig.]

Ermitteln Sie diese Zahl. [1 Punkt]

Bienen

(5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Zeitraum vom Anfang des 4. März ($t = 0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t = 232$) im Mittel täglich schlüpfen. [2 Punkte]

Bienen/Tag

Teilaufgabe b)

Ein Imker verwendet zwei verschiedene Ansätze, um vorherzusagen, wann die Gefahr besteht, dass die Bienen schwärmen („Schwarmzeit“):

• Bei Ansatz B geht der Imker davon aus, dass die Bienen schwärmen könnten, wenn in den nächsten 21 Tagen mindestens 30 000 Bienen schlüpfen werden.

(2)

Die Gleichung $$\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x = 30000$$ besitzt im Beobachtungszeitraum zwei Lösungen. Bestimmen Sie diese und interpretieren Sie die Gleichung samt ihren Lösungen im Zusammenhang der Teilaufgabe b). [6 Punkte]

Teilaufgabe c)

(3)

Bis zum Ende des 7. April ($t = 35$) sind schon 240 Bienen gestorben.

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t = 216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t = 181$) geschlüpft sind. [4 Punkte]