Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · GTR · Weiterbildungsko 2021

Aufgabe B2 - Integralrechnung

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen, legt allein die Königin.

Ein bestimmtes Bienenvolk wurde im Jahr 2019 über das Jahr hinweg genau beobachtet, anschließend wurde seine Entwicklung modelliert. Weil fast alle Eier zu Arbeiterinnen werden, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell unberücksichtigt. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Die Zunahme der Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen wird für $0 \leq t \leq 232$ durch die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

modelliert. Dabei entspricht $t=0$ dem Beginn des 4. März. Bei $t=1$ endet der 4. März und beginnt der 5. März usw. Der 21. Oktober endet somit bei $t=232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der ganzen Aufgabe müssen Ergebnisse nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

a) (4)

Das Integral $\displaystyle\int_{9}^{10} f(t)\,\mathrm{d}t$ beschreibt, wie viele Bienen am 13. März schlüpfen. [Eine Begründung ist nicht nötig.] Ermitteln Sie diese Anzahl rechnerisch.

a) (5)

Bestimmen Sie, wie viele Bienen im Mittel pro Tag schlüpfen, und zwar vom Beginn des 4. März ($t=0$) bis zum Ende des 21. Oktober ($t=232$).

b) (2)

Die Gleichung $\displaystyle\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x = 30000$ besitzt im Beobachtungszeitraum die Lösungen $t_1 \approx 47$ und $t_2 \approx 104$. Außerdem gilt für $47 \le t \le 104$: $\displaystyle\int_{t}^{t+21} f(x)\,\mathrm{d}x \ge 30000$.

Erläutern Sie, was das Integral im Sachzusammenhang bedeutet. Interpretieren Sie die in Teilaufgabe b) (2) angegebenen Informationen im Zusammenhang der Teilaufgabe b).

c) (1)

Begründen Sie, dass sich im Bereich $35 \le t \le 216$ die Änderungsrate der Bienenzahl (in der Einheit „Bienen pro Tag") durch die Funktion $d$ mit $d(t) = f(t) - g(t)$ beschreiben lässt.

c) (2)

Geben Sie anhand des Graphen von $d$ in Abbildung 2 näherungsweise den Zeitpunkt an, zu dem das Bienenvolk die größte Bienenanzahl erreicht, und begründen Sie Ihre Angabe.

c) (3)

Bis zum Ende des 7. April ($t=35$) sind schon 240 Bienen gestorben. Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t=216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t=181$) geschlüpft sind.