Aufgabe MMS 1: Aufgabe 2 c, d - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2025

Aufgabe 2

Um Regenwasser zu speichern, wird es kontrolliert in ein unterirdisches Auffangbecken geleitet. Für ein bestimmtes Regenereignis wird die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $r$ mit $r(x) = \mathrm{e}^x \cdot f_{2{,}5}(x)$ für $0 \le x \le 5$ modellhaft beschrieben. Dabei ist $x$ die Zeit in Stunden, die seit Beginn des Zuflusses in das Auffangbecken vergangen ist, und $r(x)$ die momentane Zuflussrate in $\frac{\mathrm{m}^3}{\mathrm{h}}$ (Kubikmeter pro Stunde). Die Funktion $f_{2{,}5}$ ist die Funktion der Schar aus Aufgabe 1 mit $k = 2{,}5$.

c

Die Abbildung zeigt den Graphen von $r$ mit einigen Eintragungen.

Erläutern Sie, dass mit diesen Eintragungen die folgende Aussage begründet werden kann: $$\int_{4}^{5} r(x)\,\mathrm{d}x < 120$$ Interpretieren Sie diese Aussage im Sachzusammenhang. [4 BE]

d

Zu Beginn des Zuflusses ist das Auffangbecken bereits mit $186\,\mathrm{m^3}$ Regenwasser gefüllt. Nach dreieinhalb Stunden wird eine Pumpe eingeschaltet. Diese pumpt bis zum Ende des betrachteten Zeitraums Wasser aus dem Auffangbecken mit einer konstanten Rate ab. Die momentane Zuflussrate des Regenwassers in das Auffangbecken wird dabei weiterhin durch $r$ beschrieben. Geben Sie einen Term an, der das Wasservolumen im Auffangbecken zu einem beliebigen Zeitpunkt nach dem Einschalten der Pumpe in Kubikmetern beschreibt. [3 BE]