Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Die Funktionen $f$ und $t$ sind durch die folgenden Gleichungen festgelegt:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$ und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Abbildung 2 zeigt, wie sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\mathrm{d}x$ ermitteln lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Inhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},$

$A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$

a) (3)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, der von der $y$-Achse sowie den Graphen von $t$ und $f$ begrenzt wird.

FE

b)

In Abbildung 2 wird ein Verfahren dargestellt, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Auf drei Nachkommastellen gerundet haben die schraffierten Flächen folgende Flächeninhalte:

$A_1 \approx 1{,}563\,\mathrm{FE}$, $A_2 \approx 3{,}563\,\mathrm{FE}$, $A_4 \approx 2{,}688\,\mathrm{FE}$, $A_5 \approx 1{,}313\,\mathrm{FE}$, $A_6 \approx 0{,}313\,\mathrm{FE}$.

(1) Zeigen Sie, dass gilt: $A_3 \approx 3{,}688\,\mathrm{FE}$.

(2) Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der mit dem gezeigten Verfahren erhaltene Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ vom exakten Wert abweicht.

%

c)

Betrachtet wird die quadratische Funktion $p(x) = -\frac{3}{8}x^2 + \frac{9}{4}x$.

(2) (i) Ermitteln Sie $\int_0^6 (f(x) - p(x))\,\mathrm{d}x$.

(2) (ii) Die Graphen von $f$ und $p$ begrenzen jeweils zusammen mit der $x$-Achse eine Fläche. Interpretieren Sie das Ergebnis aus (i) bezüglich der Größe dieser beiden Flächen.

(3) Abbildung 3 zeigt die Graphen von $f$ und $p$.

Die linke schraffierte Fläche hat den Inhalt $A_{\text{links}}$ mit $A_{\text{links}} = \frac{81}{32}\,\mathrm{FE}$.

Begründen Sie jetzt ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt $A_{\text{rechts}}$ die rechte schraffierte Fläche hat.

FE