Aufgabe 2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2019

c) Geben Sie für q = π zwei Möglichkeiten für die Werte von a, b ∈ ℝ⁺ mit a ≠ b an, sodass jeweils ∫_a^b f_q(x) dx = 0 gilt (Möglichkeit 1, Wert a):

Lösung: 0,5

c) Möglichkeit 1, Wert b:

Lösung: 1,5

c) Möglichkeit 2, Wert a:

Lösung: 1

c) Möglichkeit 2, Wert b:

Lösung: 3

d) Geben Sie die Lösungen der Gleichung w(q) = 1/2 an (Lösung 1):

Lösung: 0,10

d) Geben Sie die Lösungen der Gleichung w(q) = 1/2 an (Lösung 2):

Lösung: 1,57

d) Geben Sie die Lösungen der Gleichung w(q) = 1/2 an (Lösung 3):

Lösung: 2,60

d) Geben Sie die Lösungen der Gleichung w(q) = 1/2 an (Lösung 4):

Lösung: 3,28

e) Begründen Sie, dass die beiden folgenden Aussagen richtig sind: I Zwei beliebige aufeinanderfolgende Nullstellen von w haben den Abstand 2. II Es gilt 0 ≤ w(q) ≤ 2/q.

Lösung: I: $w(q) = 0 \iff q = 2n, n \in \mathbb{N}$ II: Es gilt $w(q) = \frac{1 - \cos(\pi q)}{q}$. Wegen $-1 \le \cos(\pi q) \le 1$ gilt $0 \le 1 - \cos(\pi q) \le 2$ und damit $0 \le w(q) \le \frac{2}{q}$.

f) Begründen Sie, dass die Gleichung w(q) = r für jede positive reelle Zahl r entweder keine Lösung oder endlich viele Lösungen hat.

Lösung: Wegen $w(q) \le \frac{2}{q}$ gibt es für jede positive reelle Zahl $r$ einen Wert $q_0$, sodass $w(q) \le r$ für alle $q > q_0$ gilt. Da zwei aufeinanderfolgende Nullstellen von $w$ jeweils den Abstand 2 haben und dazwischen jeweils genau ein Maximum liegt, haben der Graph von $w$ und die Gerade mit der Gleichung $y = r$ für $q \le q_0$ entweder keinen gemeinsamen Punkt oder endlich viele gemeinsame Punkte.