Aufgabe WTR 2 - Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2017

Für jedes $k \in \mathbb{R}^+$ ist eine Funktion $f_k: x \mapsto k^2x^3 - 6kx^2 + 9x$ mit $x \in \mathbb{R}$ gegeben. Der Graph von $f_k$ wird mit $G_k$ bezeichnet.

Aufgabe 2

Betrachtet wird eine große rotationssymmetrische Schale, die aus einem Steinblock gefertigt wurde. Ein Kubikmeter des Steins hat eine Masse von $2700\text{ kg}$.

In einem Koordinatensystem kann ein Querschnitt der Schale mithilfe der Graphen der folgenden Funktionen modellhaft dargestellt werden:

$$p: x \mapsto \sqrt{6x}, \quad 0 \le x \le 6$$

$$q: x \mapsto \sqrt{4x-8}, \quad 2 \le x \le 6$$

Dabei beschreibt die $x$-Achse die Rotationsachse der Schale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht $1\text{ dm}$ (vgl. Abbildung 3).

a)

Interpretieren Sie den Term $p(6) - q(6)$ im Sachzusammenhang. [2 BE]

b)

In die aufrecht stehende Schale wird mit konstanter Zuflussrate Wasser gefüllt. Entscheiden Sie, welcher der abgebildeten Graphen I, II und III für diesen Vorgang die Füllhöhe in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. [2 BE]

c)

Weisen Sie nach, dass sich bei dem beschriebenen Füllvorgang der Flächeninhalt $A$ der Wasseroberfläche (in $\text{dm}^2$) in Abhängigkeit von der Füllhöhe $h$ (in $\text{dm}$) mithilfe der Gleichung $A(h) = 4\pi h$ berechnen lässt. [4 BE]

d)

Interpretieren Sie im Sachzusammenhang die Funktion $s$ mit

$$s(x) = \pi \cdot \int_2^{2+x} (q(t))^2 \, \mathrm{d}t$$

und geben Sie den größten Definitionsbereich von $s$ an, der im Sachzusammenhang sinnvoll ist. [4 BE]

e)

Berechnen Sie die Masse der Schale. [6 BE]