Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS 2021

Prüfungsteil B: Aufgaben mit Hilfsmitteln

Aufgabenstellung:

In der Abbildung ist der Graph der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $f$ dargestellt, die durch folgende Gleichung gegeben ist:

$$f(x)=-\frac{5}{16}x^4+5x^3.$$

Teilaufgabe b)

(3)

Die Gleichung $f(x) = h_{3{,}75}(x)$ hat genau die drei Lösungen $x_1 = 0$, $x_2 = 6$ und $x_3 = 10$ und es gilt $\int_{0}^{10} (f(x) - h_{3{,}75}(x))\,\mathrm{d}x = 0$.

Erläutern Sie, was diese Aussage geometrisch für die Graphen von $f$ und $h_{3{,}75}$ bedeutet.

Teilaufgabe c)

In einem Tank bewahrt ein Unternehmen Glyzerin auf. Für $0 \leq x \leq 20$ wird die momentane Änderungsrate des Tankinhalts durch die Funktion $f$ (aus a)) modelliert. Hierbei bezeichnet $x$ die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn und $f(x)$ die momentane Änderungsrate in Kilogramm pro Stunde. Zu Beginn der Beobachtung enthält der Tank $1200\text{ kg}$ Glyzerin.

(1)

Der Punkt $(4 \mid 240)$ liegt auf dem Graphen von $f$.

Interpretieren Sie die beiden Koordinaten dieses Punktes im Zusammenhang der Sachsituation.

(2)

Beurteilen Sie diese Aussage: „Zwölf Stunden nach Beobachtungsbeginn ist die größte Menge Glyzerin im Tank enthalten.“

(3)

Bestimmen Sie, um wie viel der Tankinhalt im Zeitraum von acht bis zehn Stunden nach Beobachtungsbeginn zunimmt.

(4)

Berechnen Sie die Glyzerinmenge, die sich 20 Stunden nach Beobachtungsbeginn im Tank befindet.