Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2025)

Aufgabenstellung

Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f der in R\mathbb{R} definierten Funktion f ⁣:x↦13x3−2x+4.f\colon x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4. GfG_f ist symmetrisch bezüglich des Punkts (0∣4)(0 \mid 4).

d

Betrachtet wird die Gleichung ∫kk+1f(x) dx=4\int_k^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = 4 mit k∈Rk \in \mathbb{R}.

Es gibt eine Zahl kk mit −1,5≤k≤1,5-1{,}5 \le k \le 1{,}5, die eine Lösung dieser Gleichung ist.

Geben Sie – ohne weitere Rechnung – diese Zahl an und begründen Sie Ihre Angabe mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1. [5 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 (WTR 1) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

d) Gesuchter Wert für kk:

Lösung: k=−12k = -\frac{1}{2}

d) Begründung mithilfe der Punktsymmetrie:

Lösung: Aufgrund der Symmetrie von GfG_f bezüglich des Punkts (0∣4)(0|4) haben die beiden schraffierten Flächen gleichen Inhalt; daher entspricht der Wert des Integrals ∫−1/21/2f(x) dx\int_{-1/2}^{1/2} f(x)\,\mathrm{d}x dem Inhalt der Fläche eines Rechtecks der Länge 4 und der Breite 1.

d) Eintragungen in Abbildung 1:

Lösung: Einzeichnung des Intervalls [−12;12]\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right], der Rechteckfläche der Höhe 4 sowie der beiden flächengleichen schraffierten Teilflächen oberhalb und unterhalb von y=4y = 4.

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