Aufgabe 2 · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2018

Aufgabe 2

Auf dem Boden eines Behälters liegt eine Kugel. Abbildung 3 zeigt – um $90^\circ$ gedreht – einen Querschnitt dieses Behälters und der Kugel. Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit $1\text{ cm}$, d. h. die Kugel hat einen Durchmesser von $10\text{ cm}$.

Die Seitenwand des Behälters lässt sich modellhaft durch Rotation des Graphen der Funktion $q$ mit $q(x) = \sqrt{5x + 40}$ und $x \in [0; 13]$ um die x-Achse beschreiben.

Der Behälter ist zum großen Teil mit Wasser gefüllt. Die Kugel befindet sich vollständig unterhalb der Wasseroberfläche.

a)

Zeigen Sie, dass sich im Behälter mehr als $1500\text{ cm}^3$ Wasser befinden. [5 BE]

$\text{cm}^3$

b)

In den Behälter werden zusätzliche $300\text{ cm}^3$ Wasser gefüllt. Die Füllhöhe über dem Boden steigt dadurch um $1\text{ cm}$. Stellen Sie eine Gleichung auf, mit der sich die Füllhöhe vor dem Einfüllen der $300\text{ cm}^3$ Wasser berechnen lässt. [3 BE]