Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Analysis 2018

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil A · Analysis (2018)

Aufgabenstellung

Ein Behälter enthält zu Beobachtungsbeginn zwei Liter einer Flüssigkeit. Für die anschließenden fünf Stunden gibt die Funktion ff mit f(t)=−t⋅(t−4)f(t) = -t \cdot (t - 4) die momentane Zuflussrate der Flüssigkeit in Liter pro Stunde an. Dabei ist tt die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Stunden.

a

Begründen Sie, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter innerhalb der ersten vier Stunden nach Beobachtungsbeginn durchgehend zunimmt.

[3 BE]

b

Geben Sie eine Gleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viele Stunden vom Beobachtungsbeginn an vergehen, bis der Behälter sieben Liter der Flüssigkeit enthält.

[2 BE]

Aufgabenstellung: Aufgabengruppe 2 - Aufgabe 1 · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Analysis 2018

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

a Begründen Sie, dass das Volumen der Flüssigkeit im Behälter innerhalb der ersten vier Stunden nach Beobachtungsbeginn durchgehend zunimmt.

Lösung: Der Graph von ff ist eine nach unten geöffnete Parabel, die bei t=0t = 0 und t=4t = 4 die tt-Achse schneidet, d. h. es gilt f(t)>0f(t) > 0 für 0<t<40 < t < 4.

b Geben Sie eine Gleichung an, mit der berechnet werden kann, wie viele Stunden vom Beobachtungsbeginn an vergehen, bis der Behälter sieben Liter der Flüssigkeit enthält.

Lösung: 2+∫0tf(x) dx=72 + \int_0^t f(x)\,\mathrm{d}x = 7

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