Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Nachtermin · CAS · Weiterbildungsko 2021

Im Sommer setzt sich ein Bienenvolk aus mehreren zehntausend Arbeiterinnen, wenigen hundert Drohnen und einer Königin zusammen. Ausschließlich die Königin legt Eier, aus denen neue Bienen hervorgehen.

Für ein bestimmtes Bienenvolk wurde die Entwicklung im Jahr 2019 sorgfältig beobachtet und anschließend modelliert. Weil sich fast alle Eier zu Arbeiterinnen entwickeln, bleiben Drohnen und Königinnen im Modell außer Betracht. Vereinfachend heißen die Arbeiterinnen „Bienen".

Die ersten jungen Bienen schlüpften am 4. März.

Wie stark die Bienenanzahl vom 4. März bis zum 21. Oktober durch schlüpfende Bienen zunimmt, beschreibt für $0 \le t \le 232$ die Funktion $f$ mit

$$f(t) = \frac{1}{800000}t^4 + \frac{1}{7000}t^3 - \frac{3}{11}t^2 + 40t, \quad t \in \mathbb{R},$$

Dabei steht $t = 0$ für den Beginn des 4. März. Bei $t = 1$ geht der 4. März in den 5. März über usw. Der 21. Oktober endet demnach bei $t = 232$.

$f(t)$ ist die (momentane) Zuwachsrate durch schlüpfende Bienen zum Zeitpunkt $t$ in der Einheit „Bienen pro Tag". Sterbende Bienen werden zunächst nicht berücksichtigt.

Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$ im Intervall $[0;232]$.

In der gesamten Aufgabe müssen Werte nicht in Datumsangaben umgerechnet werden!

Teilaufgabe a)

(4)

Der Wert des Integrals $\int_{9}^{10} f(t)\,dt$ entspricht der Zahl der Bienen, die am 13. März schlüpfen. (Eine Begründung ist nicht nötig.) Ermitteln Sie diese Zahl.

(5)

Teilaufgabe b)

Bei Ansatz B nimmt der Imker an, dass ein Schwärmen der Bienen möglich ist, sobald in den folgenden 21 Tagen mindestens 30000 Bienen schlüpfen. Im Beobachtungszeitraum besitzt die Gleichung $$\int_{t}^{t+21} f(x)\,dx = 30000$$ zwei Lösungen.

(2)

Bestimmen Sie diese beiden Lösungen. Interpretieren Sie die Gleichung samt ihren Lösungen im Zusammenhang der Teilaufgabe b).

Teilaufgabe c)

Am Ende des 7. April ($t=35$) sind schon 240 Bienen tot.

(3)

Zeigen Sie, dass am Ende des 5. Oktober ($t=216$) noch nicht alle Bienen tot sind, die vor dem 1. September (also bis $t=181$) geschlüpft sind.