Aufgabengruppe 1 - Aufgabe 2 (a und b) · Abitur NRW Mathematik GK · Teil A · Analysis

a Geben Sie den Wert des Integrals $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x$ an.

Lösung: 0

b Begründen Sie ohne Verwendung einer Stammfunktion, dass $\int_{0}^{5\pi} f(x)\,\mathrm{d}x = 2$ gilt.

Lösung: Aus der Periodizität von f folgt: $\int_{0}^{5\pi} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x$. Aufgrund der Symmetrie des Graphen von f gilt: $\int_{0}^{\pi} f(x)\,\mathrm{d}x = 2\cdot \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x)\,\mathrm{d}x$. Damit: $\int_{0}^{5\pi} f(x)\,\mathrm{d}x = 2\cdot 1 = 2$.