Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen ändert sich die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird ein Hormon, dessen Konzentration im Blut vom Alter und von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dafür wird für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208)\cdot e^{-0,1x - 5,7} + 7,\quad x \in \mathbb{R},$$ verwendet. Hierbei steht $x$ für das Alter in Jahren und $f(x)$ für die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Der Wert $x = 0$ entspricht der Geburt. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Verlauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Um die Änderungsrate der Konzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens zu beschreiben, dienen für $0 \le t \le 8$ die Funktionen $h_a$ mit

$$h_a(t) = -10a\cdot (t-4)\cdot e^{-(0,5t-2)^2},\quad t \in \mathbb{R},\ a \in \mathbb{R},\ a \ge 1$$ als Modell. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h_a(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. Zu $t = 0$ gehört 22:00 Uhr. Der Parameter $a$ hängt vom Alter ab. In Abbildung 2 sind die Graphen von $h_a$ für $a = 1$, $a = 2$ und $a = 4$ gezeigt.

Ohne Beweis darf verwendet werden: $h_a'(t) = -10a\cdot (-0,5t^2 + 4t - 7)\cdot e^{-(0,5t-2)^2}$.

b)(4)

Bestimmen Sie diejenige Zahl $a$, bei der die Hormonkonzentration innerhalb der ersten drei Stunden um $30{,}42\text{ pg/ml}$ ansteigt.

Teilaufgabe c

Nun sollen die Funktionen $H_{2;C}$ mit $H_{2;C}(t) = 40\cdot \mathrm{e}^{-(0{,}5t-2)^2} + C$, $C\in \mathbb{R}$, untersucht werden.

(1)

Weisen Sie nach, dass es sich bei jeder Funktion $H_{2;C}$ um eine Stammfunktion von $h_2$ handelt.

(2)

Weisen Sie nach, dass in diesem Modell für jedes $C$ die Hormonkonzentration zum Ende des Beobachtungszeitraums ($t = 8$) dem Wert zu Beginn ($t = 0$) entspricht.

(3)

Bestimmen Sie $C$ auf zwei Nachkommastellen gerundet so, dass die von $H_{2;C}$ beschriebene Hormonkonzentration zum Zeitpunkt $t = 6$ den Wert $44{,}7\text{ pg/ml}$ hat.

[Kontrolllösung: $C \approx 30$.]

(4)

Die Tageshöchstkonzentration tritt im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens auf ($0 \leq t \leq 8$). Ermitteln Sie unter Verwendung von $H_{2;30}$ die maximale Hormonkonzentration (Tageshöchstkonzentration).

Bestimmen Sie mit der Funktion $f$ das Alter, das eine Person mit dieser Tageshöchstkonzentration haben könnte.