Aufgabe WTR 3 - 2c, 2d - Integralrechnung: Flächen und Be… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Auf einem Einfamilienhaus ist eine Photovoltaikanlage installiert.

An einem bestimmten Tag kann die von der Anlage im Zeitraum von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr abgegebene elektrische Leistung durch die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $k$ mit

$$k(x) = 2{,}4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12} \cdot (x - 7)\right) + 1$$ beschrieben werden.

Die in diesem Zeitraum im Haus aufgenommene elektrische Leistung kann durch eine in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $h$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ jeweils die seit 0:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden, $k(x)$ die von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Leistung und $h(x)$ die im Haus aufgenommene elektrische Leistung, jeweils in der Einheit Kilowatt ($\text{kW}$).

Abbildung 2 zeigt die zugehörigen Ausschnitte der Graphen von $k$ und $h$.

Die in einem bestimmten Zeitraum von der Photovoltaikanlage insgesamt abgegebene bzw. im Haus insgesamt aufgenommene elektrische Energie kann mithilfe des folgenden allgemeinen Zusammenhangs bestimmt werden:

Beschreibt eine Funktion $p$ in einem Zeitraum, der durch ein Intervall $[a; b]$ beschrieben wird, eine elektrische Leistung, so gibt $\int_a^b p(x)\,\mathrm{d}x$ die zugehörige elektrische Energie an. Wird dabei die Zeit in Stunden und die elektrische Leistung in $\mathrm{kW}$ angegeben, so gibt das Integral die elektrische Energie in $\mathrm{kWh}$ an.

c)

Die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $K$ mit $K(x) = -\frac{144}{5\pi}\cdot \cos\left(\frac{\pi}{12}\cdot(x-7)\right)+x$ ist eine Stammfunktion von $k$.

Berechnen Sie die von 6:00 Uhr bis 20:00 Uhr insgesamt von der Photovoltaikanlage abgegebene elektrische Energie.

[4 Punkte]

d)

Begründen Sie mithilfe von Abbildung 2 die Aussage $\int_6^{20} (k(x)-h(x))\,\mathrm{d}x < 0$ und interpretieren Sie diese im Sachzusammenhang.

[4 Punkte]