Aufgabe CAS 2 - Aufgabe 1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (CAS) 2018

Gegeben ist die Funktion $f \text{:} \text{ } x \mapsto \frac{1}{2}x^3 - 4x^2 + \frac{15}{2}x$ mit Definitionsmenge $\mathbb{R}$.

1 Ein Ballon schwebt zu Beobachtungsbeginn in einer Höhe von $50\text{ m}$. In den folgenden fünf Minuten lässt sich seine Geschwindigkeit in vertikaler Richtung modellhaft mithilfe der Funktion $f$ beschreiben. Dabei ist $x$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Minuten und $f(x)$ die Geschwindigkeit in vertikaler Richtung in $10\text{ Meter pro Minute}$.

c)

Für eine der Nullstellen von $f$ gilt $0 < x < 5$. Beschreiben Sie deren Bedeutung hinsichtlich der Höhe des Ballons. [2 BE]

d)

Entscheiden Sie, ob die Höhe des Ballons fünf Minuten nach Beobachtungsbeginn größer ist als die Höhe zu Beobachtungsbeginn, und begründen Sie Ihre Entscheidung mithilfe der Skizze zu Teilaufgabe 1 a. [3 BE]

e)

Begründen Sie, dass der Term $10 \cdot \int_{0}^{x} f(z)\,\mathrm{d}z + 50$ für $0 \leq x \leq 5$ die Höhe des Ballons in Metern in Abhängigkeit von der Zeit angibt. Gehen Sie dabei auch auf die Bedeutung der Zahlen 10 und 50 ein. [4 BE]

f)

Ermitteln Sie den Zeitpunkt, zu dem der Ballon erstmalig seit Beobachtungsbeginn eine Höhe von $120\,\mathrm{m}$ erreicht. [3 BE]

Minuten