Aufgabe CAS 1 · 2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (CAS) 2020

Auf einer 3 km langen Teststrecke fährt ein Testfahrzeug mit konstanter Geschwindigkeit. In Abhängigkeit von der vom Startpunkt aus zurückgelegten Strecke in Kilometern wird durchgehend der lokale Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Millilitern pro Kilometer gemessen.

Für den ersten Abschnitt der Fahrt liegen folgende Messwerte vor:

zurückgelegte Strecke in km · 0,00 · 0,25 · 0,50 · 0,75 · 1,00

lokaler Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$ · 66,3 · 80,5 · 88,7 · 91,8 · 90,7

Für die gesamte Fahrt kann der lokale Kraftstoffverbrauch in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $k$ mit

$$k(x) = 10x^3 - 57x^2 + 72x + 66$$ beschrieben werden. Dabei ist $x$ die zurückgelegte Strecke in km und $k(x)$ der lokale Verbrauch in $\frac{\text{ml}}{\text{km}}$.

Im Tank des Fahrzeugs befanden sich am Startpunkt genau 1000 ml Kraftstoff.

d)

Begründen Sie, dass der Term $1000 - \int_0^x k(z)\,\mathrm{d}z$ in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke den momentanen Tankinhalt liefert.

e)

Der durchschnittliche Funktionswert einer Funktion $g$ im Intervall $[a; b]$ kann mithilfe der folgenden Überlegung bestimmt werden:

Schließt der Graph von $g$ mit der $x$-Achse und den Geraden mit den Gleichungen $x = a$ und $x = b$ ein Flächenstück ein, so gibt es ein Rechteck der Länge $b - a$, das den gleichen Flächeninhalt wie das Flächenstück hat (vgl. Abbildung). Die Breite dieses Rechtecks stimmt mit dem Betrag des durchschnittlichen Funktionswerts von $g$ im Intervall $[a; b]$ überein.

Bestimmen Sie den durchschnittlichen Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs auf der gesamten 3 km langen Fahrt.

Zeigen Sie, dass sich der durchschnittliche Kraftstoffverbrauch des Fahrzeugs in Abhängigkeit von der zurückgelegten Strecke mithilfe der Funktion $d$ mit $d(x) = \frac{5}{2}x^3 - 19x^2 + 36x + 66$ beschreiben lässt.