Aufgabe B1 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Hormone steuern unterschiedliche Vorgänge im Körper. Bei manchen Hormonen schwankt die Blutkonzentration im Lauf der Zeit. Betrachtet wird nun ein Hormon, dessen Konzentration im Blut sowohl vom Alter als auch von der Tageszeit abhängt. Der größte Wert der Hormonkonzentration im Blut innerhalb eines Tages heißt im Folgenden Tageshöchstkonzentration.

Zuerst wird untersucht, wie die Tageshöchstkonzentration dieses Hormons vom Alter abhängt. Dazu dient für $0 \le x \le 70$ die Funktion $f$ mit

$$f(x) = (58x^2 + 10\,000x + 208) \cdot e^{-0{,}1x - 5{,}7} + 7 \, \quad x \in \mathbb{R},$$ als Modell. Hierbei beschreibt $x$ das Alter in Jahren und $f(x)$ die Tageshöchstkonzentration in Picogramm pro Milliliter (pg/ml). Für $x = 0$ ist der Zeitpunkt der Geburt gemeint. Abbildung 1 zeigt den Graphen von $f$.

Im Lauf eines Tages schwankt die Hormonkonzentration im Blut stark. Die Änderungsrate der Hormonkonzentration zwischen 22:00 Uhr abends und 6:00 Uhr morgens wird im Folgenden für $0 \le t \le 8$ durch die Funktion $h$ mit

$$h(t) = \frac{85}{64}t^3 - \frac{255}{16}t^2 + \frac{85}{2}t \, \quad t \in \mathbb{R},$$ modelliert. Dabei steht $t$ für die Uhrzeit in Stunden und $h(t)$ für die Änderungsrate der Hormonkonzentration im Blut in Picogramm pro Milliliter pro Stunde. $t = 0$ entspricht 22:00 Uhr. Abbildung 2 zeigt den Graphen von $h$.

a) (6)

Die mittlere Tageshöchstkonzentration im Intervall $[a;b]$ lässt sich mit $\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ berechnen.

Bestimmen Sie die durchschnittliche Tageshöchstkonzentration für das Lebensalter von 5 bis 15 Jahren.

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent dieser Wert vom Maximalwert der Tageshöchstkonzentration abweicht (aus Teilaufgabe a(4): ca. 137,675 pg/ml).

%

Am Anfang ($t = 0$) liegt die Hormonkonzentration bei 20 pg/ml.

b) (3)

Ermitteln Sie diejenigen Zeitpunkte im Beobachtungszeitraum, an denen die Hormonkonzentration 40 pg/ml erreicht.

h

h

b) (4)

Zeigen Sie, dass die Hormonkonzentration am Anfang ($t = 0$) und am Ende ($t = 8$) des Beobachtungszeitraums gleich groß ist.

b) (5)

Die Tageshöchstkonzentration tritt im Beobachtungszeitraum von 22:00 Uhr abends bis 6:00 Uhr morgens auf ($0 \leq t \leq 8$).

Ermitteln Sie mithilfe von $h$ die höchste Hormonkonzentration (Tageshöchstkonzentration).

Bestimmen Sie unter Verwendung der Funktion $f$ ein mögliches Alter einer Person mit dieser Tageshöchstkonzentration. (Die Angabe eines der möglichen Alter reicht aus.)

Jahre