Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die auf $\mathbb{R}$ definierten Funktionen $f_a$ und $g_a$ mit

$$f_a(x) = -\frac{a}{250}x^4 + \frac{1}{25}x^3, \quad a \in \mathbb{R},\ a > 0 \quad \text{sowie}$$

$$g_a(x) = f_a(x) - \frac{3}{5}x.$$

In Abbildung 1 ist der Graph von $g_1$ dargestellt.

In Abbildung 2 ist schematisch die Profillinie des Längsschnitts einer Skipiste in einer Skihalle dargestellt. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie modellhaft durch den Graphen der auf $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem stellt die $x$-Achse die Horizontale dar; eine Längeneinheit entspricht in der Realität $10\text{ m}$.

In Abbildung 3 ist die Schneeschicht im unteren Pistenbereich grau hervorgehoben; Abbildung 2 wurde dafür in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee vertikal gemessen $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Pistenabschnitt grau dar; hierfür wurde Abbildung 2 entlang der $y$-Achse stärker gestreckt als entlang der $x$-Achse. Der Boden unter dem Schnee wird für $0 \leq x \leq 5$ von der $x$-Achse wiedergegeben. Für den restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass die vertikal gemessene Schneehöhe $60\text{ cm}$ beträgt.

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Bestimmen Sie das Gesamtvolumen des Schnees, der auf der ganzen Piste liegt.