Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung GK · Teil B · Analysis (WTR) (2025)

Aufgabenstellung

1 Aufgabe

Abbildung 1 zeigt den Graphen der in R\mathbb{R} definierten Funktion ff mit f(x)=(2−x)⋅exf(x) = (2 - x)\cdot \mathrm{e}^x.

c

Begründen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1 geometrisch, dass der Wert des Terms 12⋅e⋅4\frac{1}{2} \cdot e \cdot 4 ein Näherungswert für das Integral ∫−31f(x) dx\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x ist. [3 BE]

d

Die in R\mathbb{R} definierte Funktion FF mit F(x)=(3−x)⋅exF(x) = (3-x) \cdot e^x ist eine Stammfunktion von ff. [5 BE]

Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals ∫−31f(x) dx\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x sowie die prozentuale Abweichung des Näherungswerts 12⋅e⋅4\frac{1}{2} \cdot e \cdot 4 vom exakten Wert.

%

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 (WTR 2) - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik GK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

c) Eintragung in Abbildung 1 zur geometrischen Begründung

Lösung: Rechtwinkliges Dreieck mit den Eckpunkten (−3∣0)(-3|0), (1∣0)(1|0) und (1∣e)(1|e).

c) Begründen Sie mithilfe geeigneter Eintragungen in Abbildung 1 geometrisch, dass der Wert des Terms 1/2 · e · 4 ein Näherungswert für das Integral ist.

Lösung: Der Inhalt der Fläche unter dem Graphen von ff über [−3;1][-3; 1] entspricht näherungsweise dem Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit Grundseite 4 und Höhe ee.

d) Berechnen Sie den exakten Wert des Integrals ∫−31f(x) dx\int_{-3}^{1} f(x)\,\mathrm{d}x.

Lösung: 2e−6e32e - \frac{6}{e^3} / 5,145{,}14

d) Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Näherungswerts 12⋅e⋅4\frac{1}{2} \cdot e \cdot 4 vom exakten Wert.

Lösung: 66 % / 5,85{,}8 %

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