Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR)

Thema: Integralrechnung: Flächen und Bestände · Aus der Prüfung LK · Teil B · Analysis (WTR)

Aufgabenstellung

Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion ff mit f(x)=14x3−3x2+9x−5f(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + 9x - 5 und Definitionsmenge R\mathbb{R}. Abbildung 1 zeigt den Graphen GfG_f von ff.

Die Funktion ff gehört zur Schar der in R\mathbb{R} definierten Funktionen faf_a mit fa(x)=14x3−3x2+ax−5f_a(x) = \frac{1}{4}x^3 - 3x^2 + ax - 5 und a∈Ra \in \mathbb{R}. Der Graph von faf_a wird mit GaG_a bezeichnet.

e)

Bestätigen Sie rechnerisch, dass ∫13f(x) dx=5\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = 5 gilt.

f)

Bestimmen Sie ohne Verwendung einer Stammfunktion den Wert des Integrals ∫57f(x) dx\int_5^7 f(x)\,\mathrm{d}x und veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 1.

Aufgabenstellung: Aufgabe 1 - Integralrechnung: Flächen und Bestände · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR)

Lösung

Nach den offiziellen Korrekturhinweisen

e Bestätigen Sie rechnerisch, dass int_1^3 f(x) dx = 5 gilt.

Lösung: ∫13f(x) dx=[116x4−x3+92x2−5x]13=5\int_1^3 f(x)\,\mathrm{d}x = \left[\frac{1}{16}x^4 - x^3 + \frac{9}{2}x^2 - 5x\right]_1^3 = 5

f Bestimmen Sie ohne Verwendung einer Stammfunktion den Wert des Integrals int_5^7 f(x) dx: Wert

Lösung: -9

f Geometrische Begründung / Erläuterung

Lösung: Aufgrund der Punktsymmetrie bezüglich (4∣−1)(4|-1) entspricht die Fläche unter der Geraden y=−1y = -1 der Fläche über y=−1y = -1 im symmetrischen Intervall [1;3][1;3]. Zuzüglich des Rechtecks der Höhe 22 und Breite 22 ergibt sich −9-9.

f Veranschaulichen Sie Ihr Vorgehen durch geeignete Eintragungen in Abbildung 1.

Lösung: Einzeichnen der beiden symmetrischen Flächenstücke in den Intervallen [1;3][1; 3] und [5;7][5; 7] bezüglich des Symmetriepunkts (4∣−1)(4 \mid -1), veranschaulicht durch Schraffur.

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