Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR 2021

Abbildung 2 stellt schematisch die Profillinie im Längsschnitt einer Skipiste in einer Skihalle dar. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall $30\text{ m}$ breit.

Für $0 \le x \le 41{,}5$ wird die Profillinie im Modell durch den Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

Im zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit entspricht in der Wirklichkeit $10\text{ m}$.

Über der Piste verläuft in deren Längsrichtung ein Seil. Die beiden Enden des Seils werden im Modell durch $A(5 \mid 2{,}31)$ und $B(37 \mid 10{,}68)$ dargestellt; der Verlauf des Seils kann mithilfe einer in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $h$ mit $h(x) = b \cdot c^x,\; b > 0,\; c > 0$ beschrieben werden.

Abbildung 3 zeigt die Schneeauflage im unteren Teil der Piste grau markiert; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gedehnt als in $x$-Richtung. Der Untergrund unter dem Schnee wird für $0 \le x \le 5$ durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, $60\text{ cm}$ hoch liegt.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Pistenabschnitt grau dar; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Für $0 \leq x \leq 5$ wird der Untergrund unter dem Schnee durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Teil der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, $60\text{ cm}$ hoch liegt.

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Bestimmen Sie das Gesamtvolumen des Schnees, der auf der ganzen Piste liegt.