Aufgabe B2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

c) Abbildung 2 stellt schematisch die Profillinie im Längsschnitt einer Skipiste in einer Skihalle dar. Quer zur Laufrichtung hat die Piste kein Gefälle und ist überall 30 m breit.

Modellhaft wird die Profillinie für $0 \le x \le 41{,}5$ vom Graphen der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion $p$ mit $p(x) = -0{,}000\,004x^4 + 0{,}015x^2 - 0{,}1x + 0{,}1875$ beschrieben.

In dem zugrunde gelegten Koordinatensystem verläuft die $x$-Achse horizontal; eine Längeneinheit steht dabei für 10 m in der Wirklichkeit.

Abbildung 3 stellt die Schneeauflage im unteren Teil der Piste grau dar; dafür wurde Abbildung 2 in $y$-Richtung stärker gestreckt als in $x$-Richtung. Für $0 \le x \le 5$ wird der Untergrund unter dem Schnee durch die $x$-Achse wiedergegeben. Im restlichen Bereich der Piste ist anzunehmen, dass der Schnee, vertikal gemessen, 60 cm hoch liegt.

(4) Bestimmen Sie, welches Volumen die Schneeschicht auf der kompletten Piste insgesamt hat. [5 Punkte]