Aufgabe B5 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Haupttermin · CAS · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Abbildung 1 stellt das Modell einer Schwenkbrücke dar, das anhand von Originalzeichnungen Leonardo da Vincis nachgebaut wurde.

Die Seitenansicht der Brückenkonstruktion, wie sie Abbildung 2 zeigt, nennt man Trägerkonstruktion. Ihre obere Randlinie ist in Abbildung 2 schwarz markiert.

Der Graph der Funktion $f$ mit $f(x) = \frac{1}{1000}x^3 - \frac{67}{1000}x^2 + x$, $x \in \mathbb{R}$, beschreibt im mathematischen Modell für $0 \le x \le x_n$ die obere Randlinie der Trägerkonstruktion. Dabei ist $x_n$ eine Nullstelle der Funktion $f$ (siehe Abbildung 3). Im gewählten Koordinatensystem verläuft die untere Horizontale der Trägerkonstruktion entlang der $x$-Achse.

Im Modell der Brücke steht eine Längeneinheit des Koordinatensystems für $1\text{ cm}$. Die Dicke des Materials der Träger bleibt bei der mathematischen Modellierung unberücksichtigt.

Abbildung 3 zeigt den Graphen der Funktion $f$.

Ein weiterer Bogen erstreckt sich zwischen der oberen Randlinie und der unteren Horizontalen.

Der Graph der Funktion $g$ mit $g(x) = \frac{1}{500}\cdot(x-2)\cdot(x-19)\cdot(x-29)$, $x \in \mathbb{R}$, gibt für $2 \le x \le 19$ den Verlauf dieses Bogens wieder.

f)

Die in Abbildung 4 schraffierte Fläche, die von der oberen Randlinie, der unteren Horizontalen und dem durch $g$ beschriebenen Bogen begrenzt wird, soll mit Stoff überzogen werden.

Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Fläche.