Aufgabe WTR 1 - 1c, 1e - Integralrechnung: Flächen und Be… · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2025

Betrachtet wird die Schar der in $\mathbb{R}$ definierten Funktionen

$$f_a: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - ax + 2a \quad \text{mit } a \in \mathbb{R}\text{.}$$

Abbildung 1 zeigt einen Graphen der Schar.

Betrachtet wird im Folgenden die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \frac{1}{3}x^3 - 2x + 4$. Die Funktion $f$ entspricht der Funktion $f_2$ der Schar, Abbildung 1 zeigt somit den Graphen $G_f$ von $f$. Dieser ist symmetrisch bezüglich des Punkts $(0 \mid 4)$.

Die Tangente an $G_f$ im Punkt $P(3 \mid f(3))$ wird mit $t$ bezeichnet; $y = 7x - 14$ ist eine Gleichung von $t$.

c)

Bestimmen Sie denjenigen Wert von $a$, für den $\int_0^2 f_a(x)\,\mathrm{d}x = 0$ gilt.

$a =$

e)

Betrachtet wird die Gleichung $\int_k^{k+1} f(x)\,\mathrm{d}x = 4$ mit $k \in \mathbb{R}$.

Für $-1{,}5 \le k \le 1{,}5$ besitzt diese Gleichung genau eine Lösung. Untersuchen Sie grafisch mithilfe von Abbildung 1, wie viele Lösungen diese Gleichung für $k \ge 1{,}5$ besitzt.