Aufgabe B2 - Integralrechnung: Flächen und Bestän… · Abitur NRW Mathematik GK · Haupttermin · GTR · Weiterbildungsk 2021

Aufgabenstellung:

Betrachtet werden die Funktionen $f$ und $t$, die durch die folgenden Gleichungen festgelegt sind:

$$f(x) = \frac{1}{8}\cdot x^3 - \frac{3}{2}\cdot x^2 + \frac{9}{2}\cdot x,\ x \in \mathbb{R},$$

und

$$t(x) = -\frac{3}{2}\cdot x + 8,\ x \in \mathbb{R}.$$

Teilaufgabe a)

(3)

Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Bereichs, den die y-Achse sowie die Graphen von $t$ und $f$ begrenzen.

FE

Teilaufgabe b)

Abbildung 2 veranschaulicht ein Verfahren, mit dem sich ein Näherungswert für das Integral $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ bestimmen lässt.

Bei einer Rundung auf drei Nachkommastellen gilt für die Flächeninhalte der schraffierten Flächen:$$A_1 \approx 1{,}563\text{ FE},\quad A_2 \approx 3{,}563\text{ FE},\quad A_4 \approx 2{,}688\text{ FE},\quad A_5 \approx 1{,}313\text{ FE},\quad A_6 \approx 0{,}313\text{ FE}.$$

(1)

Zeigen Sie: $A_3 \approx 3{,}688\text{ FE}$.

(2)

Ermitteln Sie, um wie viel Prozent der mit dem gezeigten Verfahren erhaltene Näherungswert des Integrals $\int_0^6 f(x)\,\mathrm{d}x$ vom exakten Wert abweicht.

%

Teilaufgabe c)

Gegeben ist die quadratische Funktion $p$ mit $p(x) = -\frac{3}{8}x^2 + \frac{9}{4}x$.

(2)

Der Inhalt der Fläche, die zwischen den Nullstellen $x = 0$ und $x = 6$ vom Graphen von $f$ und der x-Achse eingeschlossen wird, beträgt $\frac{27}{2}\text{ FE}$.

Zeigen Sie rechnerisch, dass die Fläche zwischen dem Graphen von $p$ und der x-Achse im Bereich der Nullstellen $x = 0$ und $x = 6$ denselben Inhalt hat.

(3)

In Abbildung 3 sind die Graphen von $f$ und $p$ dargestellt.

Für den Flächeninhalt $A_{\text{links}}$ der linken schraffierten Fläche gilt: $A_{\text{links}} = \frac{81}{32}\text{ FE}$.

Begründen Sie ohne zusätzliche Rechnung, welchen Inhalt die rechte schraffierte Fläche $A_{\text{rechts}}$ hat.

FE