Aufgabe 2 - Integralrechnung · Abitur NRW Mathematik LK · Teil B · Analysis (WTR) 2021

Gegeben ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $f: x \mapsto \mathrm{e}^x$.

Gegeben sind außerdem die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $g: x \mapsto \frac{1}{x}$ sowie die Funktion $h: x \mapsto \frac{1}{x-2} + 4$, deren Definitionsmenge so groß wie möglich gewählt wurde.

Graph von $h$ sowie Gerade $w$ mit der Gleichung $y = x$

Die Umkehrfunktion von $h$ wird mit $k$ bezeichnet.

Betrachtet werden nun die in $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ definierte Funktion $u: x \mapsto f(g(x))$ sowie die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion $v: x \mapsto g(f(x))$. Für die erste Ableitungsfunktion $u'$ von $u$ gilt $u'(x) = -\frac{1}{x^2} \cdot \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}$.

c)

Der Graph von $f$, die Koordinatenachsen und die Gerade mit der Gleichung $x = a$ mit $a > 0$ begrenzen ein Flächenstück. Rotiert dieses Flächenstück um die x-Achse, so erzeugt es einen Körper mit dem Volumen $3\pi$. Bestimmen Sie den Wert von $a$.

f)

Für jede Stammfunktion $H$ von $h$ gilt für jede reelle Zahl $b > 5$:

$$H(b) - H(5) > 4 \cdot (b - 5)$$

Beschreiben Sie die geometrische Bedeutung dieser Aussage und veranschaulichen Sie die Aussage grafisch.